Matrix (Plural: Matrizen)
Eine (m·n) Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, von m Zeilen und n Spalten, zwischen großen (runden) Klammern. Die Position der Komponente aik einer Matrix wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet. Die Komponente aik steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte.Merkregel für die Reihenfolge der Indizes: "Zuerst Zeile - Spalte später"
\(A = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right)\)
Ordnung einer Matrix
Die Ordnung einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl der Zeilen m und der Anzahl der Spalten n. Die Ordnung einer solchen Matrix ist dann m x n. Sierepräsentiert die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen in n Unbekannten
Einzeilige bzw. einspaltige Matrix
Eine einzeilige bzw. einspaltige Matrix stellt einen Zeilen- bzw. Spaltenvektor dar
- Zeilenvektor \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\)
- Spaltenvektor \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}\\ {{a_{21}}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}\\ {{a_{22}}} \end{array}} \right)\)
Gleiche Matrizen
Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie in der Anzahl der Zeilen und der Spalten übereinstimmen und auch jede einzelne Komponente gleich ist.
\({a_{ij}} = {b_{ij}}\)
Quadratische Matrix
besitzt die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\)
Existiert für eine (quadratische) Matrix A eine inverse Matrix A-1so nennt man A eine reguläre Matrix, andernfallsnennt man A eine singuläre Matrix.
Hauptdiagonale einer Matrix
Die Komponenten einer Matrix für die m=n gilt, bilden die Hauptdiagonale einer Matrix
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdot & \cdot \\ \cdot &{{a_{22}}}& \cdot \\ \cdot & \cdot &{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
Diagonalmatrix
Alle Komponenten einer Diagonalmatrix, ausgenommen jene Komponenten die auf der Hauptdiagonalen liegen, sind Null
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&0&0&0\\ 0&{{a_{22}}}&0&0\\ 0&0&{{a_{33}}}&0\\ 0&0&{...}&{{a_{44}}} \end{array}} \right)\)
Symmetrische Matrix
Eine quadratische Matrix heißt symmetrische Matrix, wenn sie bei Spiegelung an der Hauptdiagonale (links oben → rechts unten) in sich selbst übergeht (d.h. unverändert bleibt). In diesem Sonderfall stimmt die Ausgangsmatrix mit ihrer Transponierten überein.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{21}}}&{{a_{31}}}&{{a_{41}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{32}}}&{{a_{42}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{43}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}} \end{array}} \right)\)
Nullmatrix
Bei einer Nullmatrix sind sämtliche Komponentennull.
\(A = \left( {\matrix{ 0 & 0 & {...} & 0 \cr 0 & 0 & {...} & 0 \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr 0 & 0 & {...} & 0 \cr } } \right)\)
Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Diagonalmatrix (m=n), deren „Diagonal-Komponenten“ gleich 1 sind und bei der alle anderen Komponenten gleich 0 sind
\(A = \left( {\matrix{ 1 & 0 & {...} & 0 \cr 0 & 1 & {...} & 0 \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr 0 & 0 & {...} & 1 \cr } } \right)\)
Dreiecksmatrix
Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen, deren Komponenten entweder oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen nur aus Nullen bestehen.
- Damit, insbesondere auf Grund der vielen Nullen, besitzen sie Eigenschaften, die es einfach machen, mit ihnen zu rechnen.
- Jede quadratische Matrix kann mittels einer Permutationsmatrix in das Produkt zweier Dreicksmatrizen zerlegt werden.
- Sind sie invertierbar und die zugehörigen linearen Gleichungssysteme haben genau eine Lösung.
- Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt jener Komponenten, die auf der Hauptdiagonalen liegen
\({A_{oben}} = {A_{unten}} = \det {A_{oben}} = \det {A_{unten}} = \prod\limits_i {{a_{ii}}} \)
obere Dreiecksmatrix
Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind alle Komponentendie unterhalb der Hauptdiagonalen liegennull \({a_{mn}} = 0{\text{ für }}m > n\)
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ 0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ 0&0&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
untere Dreiecksmatrix
Bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Komponentendie oberhalb der Hauptdiagonalen liegen null \({a_{mn}} = 0{\text{ für }}n > m\)
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&0&0\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&0\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
Inverse Matrix
Eine inverse MatrixA-1 liegt vor, wenndas Produkt einer Matrix A mit mit einer anderen Matrix A-1 die Einheitsmatrix I ergibt
\(A \cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} \cdot A = I\)
- Eine inverse Matrix ist nur für quadratische Matrizen definiert. Es existiert aber nicht für jede quadratische Matrix eine inverse Matrix.
- Eine Matrix A heißt invertierbar, falls sie eine inverse Matrix A-1 besitzt. Andernfalls heißt sie singulär.
- Existiert eine inverse Matrix, so ist diese ebenfalls invertierbar. Die Inverse der inversen Matrix ist wieder die Matrix selbst \({\left( {{A^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = A\)
- Die inverse Matrix der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix \({\left( {{A^T}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}\)
- Wenn A eine inverse Matrix A-1 besitzt, dann ist die Determinante von A auf jeden Fall ungleich Null.
- Die Berechnung der inversen Matrix ist kompliziert. Bei einer 3x3 Matrix muss man 9 lineare Gleichungen in 9 Unbekannten lösen.
Für die Berechnung der inversen Matrix bietet sich das Gauß-Jordan Algorithmus, Adjunkten oder die Cramersche Regel an.
Gauß-Jordan Algorithmus
Der Gauß-Jordan Algorithmusdient zur Berechnung der inversen Matrix A-1 zu einer gegebenen Matrix A
- Man schreibt wie folgt an: \(A \cdot {A^{ - 1}} = E\)
- Man bildet die Blockmatrix \(\left( {A\left| E \right.} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\)
- Anschließend formt man den linken Block der Blockmatrix mit Hilfe vom Gauß-Jordan Algorithmus so um, dass aus der Matrix A die Einheitsmatrix E wird wobei der rechte Block zur inversen Matrix A-1 wird, gemäß \(\left( {E\left| {{A^{ - 1}}} \right.} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}^{ - 1}}&{{a_{12}}^{ - 1}}&{{a_{13}}^{ - 1}}\\ {{a_{21}}^{ - 1}}&{{a_{22}}^{ - 1}}&{{a_{23}}^{ - 1}}\\ {{a_{31}}^{ - 1}}&{{a_{32}}^{ - 1}}&{{a_{33}}^{ - 1}} \end{array}} \right|\)
Transponierte Matrix
Wenn man in einer beliebigen \(m \times n\) Matrix A die Zeilen und die Spalten vertauscht, so erhält man die transponierte oder gespiegelte oder gestürzte \(n \times m\) Matrix AT.
\(\eqalign{ & A = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right) \cr & \cr & {A^T} = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{21}}} & {...} & {{a_{m1}}} \cr {{a_{12}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{m2}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{1n}}} & {{a_{2n}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right) \cr}\)
Aus der 1. Zeile wird also die 1. Spalte, aus der 2. Zeile wird die 2. Spalte usw.
In der Vektorrechnung wird durch Transposition aus einem Zeilenvektor ein Spaltenvektor und umgekehrt.
Transponierte einer transponierten Matrix
Die Transponierte einer transponierten Matrix ist wieder die Ursprungsmatrix.
\({\left( {{A^T}} \right)^T} = A\)
